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\author{Didnelpsun}
\title{随机变量及其分布}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
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\tableofcontents
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\newpage
\pagestyle{plain}
\setcounter{page}{1}

\section{二项分布}

\textbf{例题：}已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    2x, & 0<x<1 \\
    0, \text{其他}
\end{array}\right.$，$Y$表示对$X$进行3次独立重复试验中事件$\left\{X\leqslant\dfrac{1}{2}\right\}$，求$P\{Y=2\}$。\medskip

解：已知对$X$进行独立重复试验，表示这个进行的是伯努利试验，从而$Y\sim B(n,p)$。又是3次，所以$Y\sim B(3,p)$。

只用求出这个$p$即$\left\{X\leqslant\dfrac{1}{2}\right\}$的概率就可以了。又已知$f(x)$。

$\therefore p=\left\{X\leqslant\dfrac{1}{2}\right\}=\int_0^\frac{1}{2}2x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{4}$。$\therefore P\{Y=2\}=B\left(3,\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{9}{64}$。

\section{泊松分布}

\textbf{例题：}设一本书的各页印刷错误的个数$X$服从泊松分布。已知只有一个和只有两个印刷错误的页数相同，则随机抽查的4页中无印刷错误的概率$p$为？

解：$\because P\{X=1\}=P\{X=2\}$，$\therefore\dfrac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=\dfrac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}$，$\lambda=2$。

由于随机抽四页类似于伯努利试验是相互独立的，所以随机抽4页都无错误的概率为$[P\{X=0\}]^4=e^{-8}$。

\section{几何分布}

\textbf{例题：}已知随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    2^{-x}\ln2, & x>0 \\
    0, \text{其他}
\end{array}\right.$，对$X$进行独立重复观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记$Y$为观测次数，求$Y$的概率分布。

解：由题目直到就停止，知道$Y\sim G(p)$。

又$p=P\{X\geqslant3\}=\int_3^{+\infty}2^{-x}\ln2\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{8}$

这是对几何分布的变形，首先进行$k$次试验，第$k$次成功，所以要乘$p$，而因为是第2个成功，所以前面的$k-1$次中有$k-2$次失败和一次成功，所以一共$p^2(1-k)^{k-2}$。因为前面的成功的一次在$k-1$中任意一个地方就可以了，所以一共有$k-1$中可能性，要考虑到排列，所以还要乘$(k-1)$。

$\therefore P\{Y=k\}=(k-1)\left(\dfrac{1}{8}\right)^2\cdot\left(\dfrac{7}{8}\right)^{k-2}$。

\section{均匀分布}

\textbf{例题：}已知随机变量$X\sim U(a,b)$（$a>0$）且$P\{0<X<3\}=\dfrac{1}{4}$，$P\{X>4\}=\dfrac{1}{2}$，求$X$的概率密度以及$P\{1<X<5\}$。

解：$\because P\{X>4\}=\dfrac{1}{2}$，4在其区间中点上，$\dfrac{a+b}{2}=4$。

$\because P\{0<X<3\}=\dfrac{1}{4}$，$3$若在$a$左边则概率为0，所以必然在右边。

$\therefore P\{a<X<3\}=\dfrac{1}{4}$，$P\{<3X<4\}=1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{4-3}{b-a}=\dfrac{1}{4}$。

解得$a=2$，$b=6$，$X\sim U(2,6)=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    \dfrac{1}{4}, & 2<x<6 \\
    0, & \text{其他}
\end{array}\right.$。

$P\{1<X<5\}=\dfrac{5-2}{6-2}=\dfrac{3}{4}$。

\textbf{例题：}已知随机变量$X$在区间$[0,1]$上服从均匀分布，在$X=x$（$0<x<1$）的条件下随机变量$Y$在区间$[0,x]$上服从均匀分布。

(1)$(X,Y)$的概率密度。

解：$X$在区间$[0,1]$上服从均匀分布，则$X\sim f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    1, & 0\leqslant x\leqslant1 \\
    0, & \text{其他}
\end{array}\right.$。

$Y$在$X=x$下均匀分布，则$f_{Y|X}(y|x)=\left\{\begin{array}{ll}
    \dfrac{1}{x}, & 0<y<x<1 \\
    0, & \text{其他}
\end{array}\right.$。

$(X,Y)$联合概率=条件概率×边缘概率。

即$f(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
    \dfrac{1}{x}, & 0<y<x<1 \\
    0, & \text{其他}
\end{array}\right.$。

(2)$Y$的概率密度。

解：首先求$Y$的边缘概率密度，就需要积$X$。然后求$y$的区间，$XY$的联合区间是横坐标$[0,1]$到纵坐标$[0,1]$的下三角形，则$y\in[0,1]$。

然后求$Y$就在联合概率密度所规定的区间中画一条$y=y_0$的线，从左先交到的是$y=x$，所以下限就是$y$，后交的是$x=1$，所以上限为1。最后将$y$的联合分布函数放在中间，得到$f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}
    \displaystyle{\int_y^1\dfrac{1}{x}\textrm{d}x}=-\ln y, & 0<y<x<1 \\
    0, & \text{其他}
\end{array}\right.$。

(3)概率$P\{X+Y>1\}$。

解：求$P\{X+Y>1\}$就是求一个区间的概率值，即$P\{(X,Y)\in G\}=\iint\limits_Gf(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y$。

\begin{multicols}{2}
    
    \begin{tikzpicture}[scale=2]
        \draw[-latex](-0.25,0) -- (1.25,0) node[below]{$x$};
        \draw[-latex](0,-0.25) -- (0,1.25) node[above]{$y$};
        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
        \draw[black](1,0) -- (0,1) node[left]{$1$};
        \draw[black](1,1) -- (1,0) node[below]{$1$};
        \draw[black](0,0) -- (1,1);
        \draw[black, densely dashed](0.5,0.5) -- (0.5,0) node[below]{$\dfrac{1}{2}$};
        \filldraw [fill=gray!20] (0.5,0.5) -- (1,1) -- (1,0) -- (0.5,0.5);
        \draw[black](0.8,0.5) node{$D$};
        \draw[black, densely dashed](0.6,0) -- (0.6,1) node[above]{$y=y_0$};
    \end{tikzpicture}

    所以$P\{X+Y>1\}=\iint\limits_D\dfrac{1}{x}\textrm{d}\sigma$，$D=x+y>1\cap0<y<x<1$。$\iint\limits_D\dfrac{1}{x}\,\textrm{d}\sigma=\int_\frac{1}{2}^1\textrm{d}x\int_{1-x}^x\dfrac{1}{x}\textrm{d}y=1-\ln2$。

\end{multicols}

\section{指数分布}

\textbf{例题：}已知随机变量$X\sim E(1)$，$a$为常数且大于0，求$P\{X\leqslant a+1|X>a\}$。

解：$P\{X\leqslant a+1|X>a\}=\dfrac{P\{a<X\leqslant a+1\}}{P\{X>a\}}=\dfrac{\int_a^{a+1}e^{-x}\,\textrm{d}x}{\int_a^{+\infty}e^{-x}\,\textrm{d}x}=1-\dfrac{1}{e}$。

也可以根据指数分布的无记忆性：$P\{X\leqslant a+1|X>a\}=1-P\{X>a+1|X>a\}=1-P\{X>1\}=P\{X\leqslant1\}=F(1)=1-\dfrac{1}{e}$。

\section{正态分布}

\textbf{例题：}已知随机变量$X\sim N(0,1)$，对给定的$\alpha$（$0<\alpha>1$），数$\mu_\alpha$满足$P\{X>\mu_\alpha\}=\alpha$，若$P\{\vert X\vert<x\}=\alpha$，求$x$。

解：$P\{X>\mu_\alpha\}=\alpha$即表示$\mu_\alpha$为标准正态分布的上$\alpha$分位点。

又$P\{\vert X\vert<x\}=\alpha$，即$-x<X<x$的面积为$\alpha$，所以两边的面积各为$\dfrac{1-\alpha}{2}$，$P\{X<x\}=P\{X>x\}=\dfrac{1-\alpha}{2}$。

$\because$面积为$\alpha$的下标为$\alpha$，$\therefore$面积为$\dfrac{1-\alpha}{2}$的下标为$\dfrac{1-\alpha}{2}$，$x=\mu_\frac{1-\alpha}{2}$。

\end{document}
